아이스티 문제

오늘은 회사에서 깜짝 회식이 있었다. 회사에 C 고등학교 출신 분들이 많은 만큼 가끔 이렇게 고등학교 출신으로 뭉치는 때가 있는데 오늘이 그런 날이었다. 삼겹살을 먹고 나서 할리스 커피에서 마실 것을 마셨다. 나는 아이스티를 먹으려 했는데 마침 아무 것도 안먹는다는 선배가 있어서 아이스티를 시켰지만 그 아이스티를 선배에게 드리고 나는 아무 것도 안먹기로 했다. 그랬더니 선배는 날 위해 컵을 하나 가져오셨고, 그 컵에 아이스티를 채워주셨다. 그때, 마침 그 컵 만큼의 물도 마찬가지로 받았다. 나는 컵 $A$에 담긴 아이스티를 마시면서 동시에 컵 $A$의 아이스티가 떨어질 때마다 아이스티를 물로 채워넣었다.

그러다보니 어떤 수학문제가 떠올랐다. 오래 전, 내가 군대에 있을 때 떠올렸던 수학문제와 유사한 수학문제였다. 재미있는 수학문제는, 이렇듯 일상에서 다소 벗어나있을 때 내 마음 속으로 찾아온다. 술을 좀 마셔서 평소와는 다른 상황의 내게, 이렇듯 재밌는 아이디어가 들어오곤 하는 것 같다.

아이스티를 어떻게 따라야, 높은 농도의 아이스티를 즐길 수 있는가?

하는 문제이다.

이 문제에 대해 풀기 전에, 10여년 전 내 군대 시절 떠올린 문제에 대해 먼저 정리하고자 한다. 그 때에도 나는 머리가 말랑말랑했었나보다. 즉, 평소와는 다른 생각을 무심코 했었나보다. 그 문제는 아주 재미있었던 문제로, 처음에 나는 정수기에 물이 떨어지는 걸 보면서 한 문제를 떠올렸다. 이후에는 은행에서 복리로 이자를 받는 문제에 대해 생각했던 것 같다. 두 문제는 연관이 있었고, 고등학교떄 배우는 무리수 $e$의 의미를 다시금 생각하게 하는 재밌는 문제였다. 먼저 정수기 문제를 생각하자.

1. 정수기 문제

$T$℃의 물 $V$ℓ가 있다고 하자. 여기에 $T’$℃의 물 $V’$를 섞으면 어떻게 될까? 단, 물의 비중은 물의 온도와 관계없이 일정하다고 하자. 당연히, $(V+V’)$ℓ의 물이 될 것이고 $TV+T’V’=x(V+V’)$로부터 섞인 물의 온도는 \(\frac{TV+T'V'}{V+V'}\) 가 된다. 굉장히 기본적인 원리이다.

내 상상력을 자극했던 건 차가운 물 (온도 $T$℃)이 담긴 컵이 정수기 아래에 있고 뜨거운 물(온도 $T’$℃)이 그 컵 위로 떨어지고 있는 상황이다. 당연히 컵의 물은 흘러넘친다. 궁금한건, 그럴 때에 컵에 담긴 물의 온도는 어떻게 변할 것인가 하는 문제였다. 뜨거운 물이 계속 떨어지고 있으므로 컵에 담긴 물의 온도는 점점 뜨거워질 것이고 긴 시간이 흐른 후에는 뜨거운 온도 $T’$℃로 수렴해 갈 것이다. 그런데 어떻게 변화할 것인가.

조금 더 명확하게. 컵에는 원래 $T$℃의 물 $V$ℓ가 있었다. 이때 $T’$℃의 물 $V’$ℓ이 위에서 떨어진다. 물이 어떻게 튀고 또 중력에 의해 내려갔다 올라오고 하는 것들을 생각하지 않기 위해 물은 아주 조금씩, 예컨대 한방울씩 떨어진다고 가정하자. 그러니까 아주 조금씩 $T’$℃의 물이 $T$℃의 물과 섞여가는 것이다.

예컨대 이런 것이다.