직사각형 돌리기

어떤 독서모임에서 「로스할데」에 대해 소개했었는데 기다리다가 문득 다음과 같은 간단한 문제가 궁금해졌다.

1. 문제

$xy$평면 위에, 인접한 두 변의 길이가 $a$, $b$인 직사각형 $R$이 있다고 하자. $R$의 양 변은 각 축과 할 필요는 없다. 이때 $R$의 최대 $x$값, 최소 $x$값, 최대 $y$값, 최소 $y$값을 통해 이루어지는 직사각형 $S$의 넓이는 언제 최대가 되며 그 최댓값은 얼마인가?

위 설명이 조금 descriptive한 설명이었다면, 조금 더 수식적인 설명은 다음과 같다.

직사각형 $R$에 대하여

\[S=\{x:(x,y)\in R\}\times\{y:(x,y)\in R\}\]

일 때, $S$의 넓이의 최댓값을 구하여라.

말이 복잡하다. 그냥 그림으로 보면 쉽다.

위 그림에서 직사각형 $R=\square ABCD$의 $x$축 기준으로의 최솟값이 $D$에서 최댓값이 $B$에서 발생하고, $y$축 기준으로의 최솟값이 $A$에서 최댓값이 $C$에서 발생하고 있으니, $B$와 $D$를 각각 지나는 수직선과 $A$와 $C$를 각각 지나는 수평선을 그어서 만들어지는 새로운 직사각형 $S=\square EFGH$를 생각했을 때, 이 $S$의 넓이는 언제 최대가 되며, 최댓값은 얼마인가?

2. 풀이

당연히, 문제는 각도 $\angle BAF$를 $\theta$로 두어 접근할 수 있고, 일반성을 잃지 않고 $0\le\theta\le\frac\pi2$라고 가정할 수 있다. 문제를 풀기 전에 생각해보면, 당연하게도 $\theta=\frac\pi4$인 경우에 최댓값이 되지 않을까, 하고 생각해볼 수 있다. 그럼 왜 그때 최대가 되며, 그 의미는 무엇일지.

주어진 $\theta$의 범위에서 $S$의 두 변의 길이는

\[\begin{align*} EF&=x(B)-x(D)\\ EH&=y(C)-x(A)\\ \end{align*}\]

임이 명확하다. 그러면 ($a=AD$, $b=AB$)

\[\begin{align*} EF&=a\sin\theta+b\cos\theta\\ EH&=a\cos\theta+b\sin\theta \end{align*}\]

여서 문제는

\[A(\theta)=(a\sin\theta+b\cos\theta)(a\cos\theta+b\sin\theta)\]

의 최댓값을 구하는 문제가 된다. 단순히 전개하면

\[\begin{align*} A(\theta) &=(a^2+b^2)\sin\theta\cos\theta+ab\sin^2\theta+ab\cos^2\theta \end{align*}\]

이고

\[\begin{align*} A'(\theta) &=(a^2+b^2)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ &=(a^2+b^2)(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta) \end{align*}\]

이다. $A’(\theta)=0$이 되는 유일한 $\theta$는 $\theta=\frac\pi4$가 되며 이때 극댓값을 가지므로 이것은 최댓값이기도 하다. 그 최댓값은

\[A\left(\frac\pi4\right)=\frac12(a+b)^2\]

이다.

어 문제가 너무 쉽게 풀리는데? 왜 나는 그당시에 $a$와 $b$에 대해 편미분하고 0으로 두었지. 이 문제를 $a$와 $b$에 대한 함수로 보는게 의미는 크게 없어보이는데.

3. 첨언

하지만, 마지막으로 한가지는 언급하고 넘어가자. $A(\theta)$는 삼각함수의 합성을 통해 재밌는 방식으로 표현될 수 있다.

각도 $\phi$를 ($0\le\phi\lt2\pi$)

\[\begin{align*} \sin\phi&=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \cos\phi&=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align*}\]

를 만족시키는 각도라고 하자. 그러면

\[\begin{align*} EF &=\sin\theta\sin\phi+\cos\theta\cos\phi\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\phi)\\ EH &=\cos\theta\sin\phi+\sin\theta\cos\phi\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi) \end{align*}\]

가 된다. 재밌는건, $\angle CAB$는 $\phi$와 같다고 볼 수 있으니까, 선분 $AC$와 각도 $\angle CAF$를 통해 보면 그림으로부터 $EH=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)$라는 식이 명확하다는 거다. $EF$도 마찬가지다.

여하튼, 그러면

\[\begin{align*} A(\theta) &=(a^2+b^2)\sin(\theta+\phi)\cos(\theta-\phi)\\ &=\frac12(a^2+b^2)\left(\sin2\theta+\sin2\phi\right) \end{align*}\]

이 된다. 그럼 $\theta=\frac\pi4$일 때 최대가 되는 게 당연하고 그때의 최댓값은

\[\begin{align*} A\left(\frac\pi4\right) &=\frac12(a^2+b^2)\left(1+2\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\ &=\frac12(a^2+b^2+2ab)\\ &=\frac12(a+b)^2 \end{align*}\]

이 되어 이전 결과와 일치한다.

P.S.

이 블로그의 단점 중 하나는, 최근 포스트만 너무 강조되어 표시된다는 거다. 아직 Fourier Analysis의 A1과 2단원의 내용을 다 쓰지 못했는데, 도중에 다른 글을 써버리면 이전 글이 묻혀버리는 것 같은 느낌이 들어 아쉽다.